CALCUL DE LA DUREE DE VIE D'UN SATELLITE EN ORBITE ELLIPTIQUE

I PRELIMINAIRES :

1°) Généralités :

On aborde, ce problème un peu plus complexe que celui du projet 1, de la durée de vie d'un satellite en orbite elliptique. Sous l'effet du freinage, l'orbite va voir ses paramètres orbitaux varier au cours du temps.

Nous ne tiendrons pas compte des autres perturbations pouvant affecter l'orbite afin de bien dégager le rôle de l'atmosphère. De ce fait le freinage n'agissant que par une composante opposée à la vitesse, n'affectera pas le plan orbital qui reste fixe, mais perturbera les paramètres orbitaux classiques caractéristiques de la forme de l'orbite et du mouvement orbital, a, e, w, M.

De toute évidence a décroît, e devrait tendre vers 0, car l'orbite se circularise, avec une décroissance plus importante de l'altitude de l'apogée que celle du périgée.

En effet un freinage "en bas" se fait sentir "en haut" et réciproquement, or le freinage est moins important "en haut".

Notre problème comportera 4 inconnues a(t), e(t), w(t), M(t), fonction du temps.

Le satellite sera considéré comme "mort" lorsque son altitude atteint 120 km. En effet au-dessous de cette limite tout va très vite, c'est le retour définitif au sol.

Initialement notre satellite est sur une orbite de périgée R_p et d'apogée R_a, tous deux inférieurs à 1500 km.

2°) Données sur l'atmosphère terrestre :

Nous fournissons le modèle de JACCHIA donnant la masse volumique de l'air en fonction de l'altitude Z et de la température exosphérique T, qui dépend énormément de l'activité solaire. On supposera que l'action du soleil est uniforme sur la terre, ce qui représente une approximation, vu déjà la différence existant entre la partie éclairée et celle à l'ombre, en particulier

II EQUATIONS DU MOUVEMENT :

Nous sommes là en présence d'un problème typique de perturbation. Les équations de Gauss sont donc nécessaires. Vous montrerez que le système différentiel du mouvement est:

où S est la surface de référence ou maître couple du satellite, C_D=2.2, en général, le coefficient de traînée et M la masse du satellite.

III RESULTATS SOUHAITES :

On étudiera typiquement deux orbites non équatoriales:

· Rp=200 km, Ra = 800 km

· Rp=500 km, Ra = 1000 km

· Satellite configuré comme SPOT1 : S=12 m², C_D = 2.7, M = 1800 kg

1°) On mettra en évidence l'influence de la température exosphérique sur la première orbite ( en effet plus sensible car le périgée est plus bas), ainsi que du coefficient de forme SC_D / M, et on tracera la courbe de descente du périgée en fonction du temps.

2°) On calculera la durée de vie du satellite. On réalisera un graphique, pour une température exosphérique moyenne fixée à choisir et un périgée fixé à 200 km, donnant la durée de vie en fonction de l'altitude initiale de l'apogée, si possible pour diverses valeurs du coefficient de forme k = SC_D/M.

3°) On pourra s'intéresser au calcul du coût sur 10 ans, en incrément de vitesse, pour maintenir le satellite sur son orbite. Pour ce faire on admettra qu'une correction est nécessaire dès que le périgée arrive à 180 km ou l'apogée à 450 km. Si une maintenance est effectuée, elle comportera nécessairement la correction du périgée et de l'apogée qui seront alors ramenés à leur niveau initial.

On pourra aussi essayer de trouver une documentation sur les débris encombrant l'espace et leur durée de vie. et on rédigera un rapport d'ensemble en conséquence.

Guiziou Robert oct 1998 / rev nov 98, sept 2011